Número periódico

Un número periódico es un número racional caracterizado por tener un período (cifras que se repiten indefinidamente) en su representación decimal. Este período puede constar de una o varias cifras, como $\tfrac{1}{3}=0,\boldsymbol{3}\,333\dots$ o $\tfrac{1}{7}=0,\boldsymbol{142857}\,142857\dots$

El período se puede expresar escribiendo un arco encima de las cifras repetidas, por ejemplo $\tfrac{2}{3} = 0, \widehat{6}$ o $\tfrac{12}{11} = 1, \widehat{09}$ .

[editar]Tipos de números periódicos

Número periódico puro: Cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras que se repiten.

Número periódico mixto: Cuando después de la coma hay una o más cifras que no se repiten, seguidas por una o más cifras que sí se repiten. Ejemplo: $\tfrac{12}{1100} = 0,01 \widehat{09}$

[editar]Fracción correspondiente a un número periódico

Dado un número periódico en su representación decimal, es posible encontrar la fracción que lo produce (fracción generatriz). Ejemplo:

$\begin{alignat}2 x &= 0,333333\ldots\\ 10x &= 3,333333\ldots&\quad&\text{(multiplicando por 10 ambos miembros)}\\ 9x &= 3 &&\text{(restando 2da. menos 1ra.)}\\ x &= 3/9 = 1/3 &&\text{(simplificando)}\\ \end{alignat}$

Otro ejemplo:

$\begin{align} x &= 0,836363636\ldots\\ 100x &= 83,636363636\ldots\\ 99x &= 82,8 \\ x &= \frac{82,8}{99} = \frac{828}{990} = \frac{18 \times 46}{18 \times 55} = \frac{46}{55}. \end{align}$

El procedimiento anterior es general y permite enunciar las siguientes reglas:

Número decimal periódico puro: La fracción de un número decimal periódico puro tiene:
- numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
- denominador: tantos $9$ como cifras tiene el período

Ejemplo: $5,34\ 34\dots=\frac{534-5}{99}=\frac{529}{99}$

Número decimal periódico mixto: La fracción de un número decimal periódico mixto tiene:
- numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
- denominador: tantos $9$ como cifras tiene el período, seguidos de tantos $0$ como cifras tiene la parte no periódica.

Ejemplo: $12,345\ 67\ 67\ 67\dots=\frac{1234567-12345}{99000}=\frac{1222222}{99000}=\frac{611111}{49500}$ .

Dada una fracción irreducible (es decir, en la que numerador y denominador son primos entre sí, y por tanto no se puede simplificar más) es sencillo saber si corresponde a un número periódico puro, mixto, o es un decimal exacto, sin necesidad de hacer la división:

Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos son sólo el 2 y/o el 5, será exacta.

Por ejemplo: $\tfrac{7}{20}$ , como 20=2*2*5, será exacta; en efecto $\tfrac{7}{20}=0,35$

Otro ejemplo: $\tfrac{7}{25}$ , como 25=5*5, será exacta; en efecto $\tfrac{7}{25}=0,28$

Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos no contienen ni al 2 ni al 5, será periódica pura:

Por ejemplo $\tfrac{5}{21}$ , como 21=3*7, será periódica pura; en efecto $\tfrac{5}{21}=0,238095\ 238095\ 238095\dots$

Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos contienen al 2 y/o al 5, y además algún otro factor, será periodica mixta:

Por ejemplo $\tfrac{5}{42}$ , como 42=2*3*7, será periodica mixta; en efecto $\tfrac{5}{42}=0,1\ 190476\ 190476\ 190476\dots$

jaimelozano

matematicas

jueves, 26 de mayo de 2011